Is a Straight Line the Shortest Distance between two Points and does 2+2 equal 4?

Abstract

Aritmetiese optelling (2+2=4) en ’n geval van geometriese optelling (die vektorsom 2+2=?8) dui op verskillende soorte feite. Hierdie feite is nie ‘brute’ feite nie, aangesien hulle bepaal word deur ooreenstemmende getalswette en ruimte-wette. Die oorspronklike ruimtelike aard van ’n lyn (soos gegee in die eendimensionele uitgebreidheid daarvan) kan nie bloot gedefinieer word deur die maat van die uitgebreidheid daarvan nie, waar hierdie uitgebreidheid uitdrukking in die nosie van afstand (al dan nie, in die sin van ’n metriese ruimte verstaan) vind. Laasgenoemde kan slegs gespesifiseer word deur ’n getalswaarde aan die lengte van ’n lyn toe te ken – maar ’n lyn self is sekerlik nie ’n getal nie. Die blote onderskeiding tussen verskillende ruimtelike dimensies (een, twee en meer dimensies) vereis ’n implisiete verwysing na getal (die getalle 1, 2, ensomeer). Sodra die onderskeidenheid van getal en ruimte onderken word ontstaan die vraag watter een van hierdie twee gebiede meer basies is (in die sin dat dit die sin van die ander aspek veronderstel) en hoe die onverbreeklike samehang tussen beide aspekte daar uitsien. Teen die einde word aangetoon hoedat die drie primitiewe terme wat in Hilbert se aksiomatisering van die meetkunde gebruik word ’n uitdrukking is van die ruimtelike subjek-objek-relasie.